Уравнения цепи в матричной форме

Пользуясь матрицей соединений А и матрицей контуров В, а также законами Кирхгофа, можно получить узловые и контурные уравнения, определяющие режим цепи, в матричной форме, при этом получаются и выражения для определения матрицы узловых проводимостей ( 1.39), и матрицы контурных сопротивлений ( 1.53).

Запишем еще раз в матричной форме первый и второй законы Кирхгофа ( 1.26) и (1.27):

AI = 0; BU = 0, (1.58)

где I - матрица-столбец токов ветвей; U - матрица-столбец напряжений между концами ветвей.

Подставив ( 1.57) в (1.58), получим

Это выражение справедливо при всех значениях , поэтому для любой заданной электрической цепи.

Уравнения цепи в матричной форме, в том числе с узловыми потенциалами и контурными токами, получаются наиболее коротким путем при введении понятия обобщенной ветви - двухполюсника общего вида (рис. 1.25). Для такой ветви I' = I + J и U = rI' - Е, откуда следует, что

I = g(U + Е)- J (1.60)

или

U = r(I + J)- Е. (1.61)

Это так называемые компонентные уравнения (связывают напряжение и ток ветви).

В матричной форме для всех ветвей схемы вместо (1.60) и (1.61) получим обобщенный закон Ома

I = g(U + E)-J (1.62)

или

U = r(I + J) - Е, (1.63)

где g - диагональная матрица проводимостей ветвей; r - диагональная матрица сопротивлений ветвей.

Дополнительно по теме

Уравнения Кирхгофа (1.58) - топологические уравнения - вместе с компонентными уравнениями (1.62) или (1.63) составляют полную систему уравнений линейной электрической цепи в матричной форме.

Для получения узловых уравнений в матричной форме умножим (1.62) на матрицу А

AI = AgU + AgE - AJ = 0

и после замены по (1.40)

где -квадратная матрица узловых проводимостей; - матрица-столбец узловых токов, т.е. (1.64) совпадает с (1.38).

Для получения контурных уравнений в матричной форме умножим (1.63) на матрицу В

BU = BrI + BrJ - BE,

и так как BU = 0 (второй закон Кирхгофа) и (1.57), то

где - квадратная матрица контурных сопротивлений; - матрица-столбец контурных ЭДС, т. е. (1.65) совпадает с (1.51).

При расчетах режимов сложных электрических цепей с применением ЭВМ предварительно должна быть составлена ее эквивалентная схема - математическая модель цепи, состоящая из типовых элементов. Для цепей, которые рассматриваются в этой главе, это резистивные элементы с сопротивлениями r, идеальные источники ЭДС Е и идеальные источники тока J. В общем случае добавляются зависимые или управляемые источники (см. гл. 8), индуктивные и емкостные элементы (для цепей переменного тока) и др.

В случае расчета с применением уравнений Кирхгофа (1.58) число решаемых уравнений равно 2В, т. е. число решаемых уравнений больше, чем при расчете методами узловых потенциалов и контурных токов, но ограничений на типы элементов нет, программа решения системы уравнений не требует перемножения матриц. Чтобы получить систему независимых уравнений, нужно выбрать независимые контуры, т. е. в общем случае выбрать дерево и ветви связи (обратиться к топологическим понятиям).

Число узловых уравнений (метод узловых потенциалов) меньше 2В, а именно У - 1. Топологические матрицы составлять не нужно, и перемножения матриц не требуется, так как (см. раздел) матрицы узловых проводимостей и узловых токов можно составить непосредственно для заданной схемы . Без преобразования схемы метод узловых потенциалов в матричной форме нельзя применять, если между какими-либо узлами включены ветви с идеальными источниками ЭДС, поскольку проводимость такой ветви бесконечно большая.

Число контурных уравнений (метод контурных токов) тоже меньше 26, а именно В -(У- 1). Но задача выбора системы независимых контуров остается. Перемножения матриц не требуется, так как матрицы контурных сопротивлений и контурных ЭДС можно составить непосредственно для заданной схемы [см. (1.48а)]. Без преобразования схемы метод контурных токов в матричной форме нельзя применять, если схема содержит ветви с идеальными источниками тока, так как сопротивление такой ветви бесконечно большое.

При расчете режима цепи с применением ЭВМ, особенно в том случае, если схема содержит и управляемые источники, для устранения отмеченных недостатков применения уравнений Кирхгофа, узловых уравнений и контурных уравнений можно рекомендовать метод расширенных узловых уравнений (метод смешанных величин).

Смотри ещё по теме Электрические цепи постоянного тока

Основные законы и методы расчета электрических цепей постоянного тока

Основные свойства электрических цепей постоянного тока