Входные и взаимные проводимости, коэффициенты передачи

Пользуясь принципом наложения, напишем уравнение для тока в любой ветви, например h, линейной электрической цепи в виде

где - частичный ток в ветви h, обусловленный действием ЭДС .

В этом уравнении, составленном согласно указаниям в разделе ток в отличие от ( 1.49) обозначает ток ветви h, a E1, Е2 и т. д. - ЭДС соответственно в первой, второй и так далее ветвях, при этом, если положительное направление для тока h выбрано совпадающим с направлением ЭДС , то но составляющие токов в той же ветви вида создаваемые ЭДС других ветвей, могут быть и отрицательными.

В (2.5) множители при ЭДС имеют размерность проводимости. Каждый из множителей с двумя одинаковыми индексами вида называется входной проводимостью ветви h. Любой из множителей с двумя различными индексами называется взаимной проводимостью ветвей h и m. При заданных направлениях действия ЭДС и выбранном положительном направлении тока взаимные проводимости могут получиться либо положительными, либо отрицательными величинами.

Численные значения входных и взаимных проводимостей могут быть определены следующим путем. Приравняем в рассматриваемой схеме все ЭДС, кроме , нулю, при этом ток , откуда

Следовательно, входная проводимость любой ветви определяется отношением тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.

Электродвижущая сила , включенная в ветвь h, вызывает в общем случае токи во всех ветвях и, в частности, в ветви m. Ток в ветви m определяется по уравнению, аналогичному (2.5), при равных нулю всех ЭДС, кроме , т. е.

, откуда

Отметим, что , как это непосредственно следует из свойства взаимности.

Таким образом, взаимная проводимость двух любых ветвей определяется отношением тока в одной ветви к ЭДС в другой при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.

Входные и взаимные проводимости можно рассчитать или определить экспериментально. Определение входных и взаимных проводимостей расчетом покажем на примере схемы рис. 2.4, а.

Приравняем ЭДС E2 и E3 нулю (рис. 2.4,6), при этом токи в ветвях

Дополнительно по теме

где

Из (2.8) определим:

Аналогично рассчитываются входные и взаимные проводимости второй и третьей ветвей:

Если взаимные проводимости найдены, то легко определить токи во всех ветвях при любых значениях ЭДС. Так, для схемы рис. 2.4, а

Экспериментальное определение входных и взаимных проводимостей и сопротивлений рассмотрим на примере произвольной цепи, из которой предварительно исключены все источники ЭДС и источники тока (рис. 2.5). Три ветви этой цепи выделены, а остальная часть условно показана в виде прямоугольника. В каждую ветвь включен амперметр. Чтобы определить входную проводимость первой ветви g31 и взаимные проводимости второй и первой g21 и третьей и первой g31 ветвей, надо включить в первую ветвь источник ЭДС Е1. Измерив вольтметром напряжение U1 = E1 на выводах источника ЭДС и амперметрами токи I1, I2 и I3 в трех ветвях, нетрудно вычислить входную и взаимные проводимости ветвей по формулам

Аналогично определяются входные и взаимные проводимости других ветвей.

Пример 2.2.

Определить входные и взаимные проводимости ветвей схемы рис. 2.6, а, если

Решение.

Для определения входной проводимости и взаимных проводимостей между первой и остальными ветвями положим Е3 = E5 = 0 (рис. 2.6, б). Затем можно задаться E1 и найти все токи. Однако для данной схемы проще задать ток в ветви с сопротивлением r4 или r5, например I51 = = 1 А, и найти необходимую ЭДС E1 и токи в остальных ветвях.

Так как r4 = r5, то I41 = I51 и I31 = - (I51 + I41) = - 2 А. На выводах элемента с сопротивлением r2 напряжение ; токи и ЭДС, при действии которой ток I51 = 1 А, а остальные токи равны найденным значениям, .

Входная проводимость первой ветви .

Взаимные проводимости между первой и остальными ветвями

Аналогично определяются входные и взаимные проводимости остальных ветвей:

При определении проводимостей следует включить ЭДС Е2 в ветвь 2, направленную так же, как и ток I2, а при определении ЭДС E4 в ветвь 4.

Пример 2.3.

В условиях предыдущей задачи (см. пример 2.2) определить токи во всех ветвях, если ЭДС Е1 = 24 В, E3 = 12 В и E5 = 24 В.

Решение.

Зная входные и взаимные проводимости ветвей, легко определить в них токи, пользуясь принципом наложения:

и т.д.

Если кроме источников ЭДС схема содержит и источники тока, то по принципу наложения к частичным токам, обусловленным действием источников ЭДС, добавятся частичные токи, обусловленные каждым из источников тока:

При определении входных и взаимных проводимостей все токи следует считать равными нулю (источники тока не действуют), а ветви с источниками тока разорвать (идеальные источники тока). При расчете коэффициентов передачи следует считать все ЭДС .