Комплексные уравнения прямой и окружности

Многие практические задачи требуют исследования зависимости цепи от различных факторов. Для таких исследований наряду с аналитическими методами прибегают к графическому методу - к построению геометрических мест концов векторов, изображающих различные величины. Эти геометрические места, называемые годографами (диаграммами), могут иметь сложную форму. В простейших случаях получаются прямые линии и дуги окружности, которые и называют соответственно линейными и круговыми диаграммами.

При исследовании электрических цепей часто какая-нибудь комплексная величина определяется уравнением вида

где , а - изменяющаяся комплексная величина с неизменным аргументом n и непостоянным в пределах от 0 до модулем n. Геометрически представляет собой сумму двух векторов (рис. 9.1), один из которых постоянен, а у другого сохраняется неизменное направление (n = const), но изменяется длина. Конец вектора совпадает с концом вектора . Следовательно, геометрическим местом конца вектора служит полупрямая, проходящая через конец вектора . Таким образом, при указанных условиях уравнение (9.1) является комплексным уравнением полупрямой. Если же n рассматривать не как модуль комплексной величины (который всегда положителен), а как действительное число, изменяющееся от до , то уравнение (9.1) будет представлять комплексное уравнение прямой, проходящей через конец вектора . Часть прямой, соответствующая отрицательным значениям n, показана на рис. 9.1 штриховой линией.

Рис. 9.1

Теперь рассмотрим другой тип уравнения, который очень часто встречается при анализе электрических цепей:

где , а - комплексная величина с неизменным аргументом n = const и модулем n, изменяющимся в пределах от 0 до .

Покажем, что геометрическим местом концов векторов является дуга окружности. Для этого разделим числитель и знаменатель выражения (9.2) на :

где ( при n = 0); , и перепишем (9.3) в следующем виде:

При всех значениях n сумма двух изменяющихся векторов равна неизменному вектору .

Рис. 9.2

На рис. 9.2 векторы показаны для одного частного значения n при условии . При всех значениях n от 0 до вектор повернут относительно вектора на угол , а угол при вершине M треугольника ОМК равен постоянной величине .

Отсюда следует, что конец вектора лежит на дуге ОМК окружности, для которой вектор является хордой. Ниже будет дан простой способ построения этой окружности, а сейчас покажем, как найти вектор для любого значения n.

Отложим от точки О по направлению хорды ОК отрезок OA, равный в некотором (произвольном) масштабе а. Затем через точку А проведем прямую AN' под углом к вектору МО и продолжим линию ОМ до пересечения в точке N с линией AN'. Получились два подобных треугольника ОAN и ОМК Из подобия следует, что

Таким образом, если отрезок OA соответствует а, то отрезок AN в том же масштабе определяет модуль n изменяющейся комплексной величины . Линия AN' называется линией изменяющегося параметра. Откладывая на ней отрезки AN, соответствующие различным значениям n, и соединяя их концы с точкой О, можно для любого значения n определить положение вектора . При увеличении n точка M приближается к точке О. В пределе при длина вектора согласно (9.3) должна стремиться к нулю, следовательно, точка M сольется с точкой О, т. е. секущая ON станет касательной ОТ, и так как точка N уйдет в бесконечность, то прямая ОТ будет параллельна линии изменяющегося параметра AN', поэтому перпендикуляр OD к линии изменяющегося параметра является вместе с тем перпендикуляром к касательной в точке О и, следовательно, совпадает по направлению с диаметром окружности, проведенным через точку О. Отсюда вытекает следующий прием построения круговой диаграммы:

1) откладываем вектор - это хорда ОК окружности;

2) от начала вектора по его направлению откладываем отрезок OA, равный в произвольном масштабе а;

3) под углом к вектору проводим линию изменяющегося параметра AN';

4) проводим прямую ОD перпендикулярно линии AN'; прямая ОD проходит через центр окружности;

5) из середины вектора восстанавливаем перпендикуляр и продолжаем его до пересечения в точке С с линией ОD. Точка С - центр искомой окружности.

Заметим, что "рабочая часть" окружности, т. е. та дуга, по которой перемещается точка М, расположена относительно хорды ОК с той же стороны, где находится линия изменяющегося параметра.

Дополнительно по теме