Комплексные уравнения прямой и окружности
Многие практические задачи требуют исследования зависимости цепи от различных факторов. Для таких исследований наряду с аналитическими методами прибегают к графическому методу - к построению геометрических мест концов векторов, изображающих различные величины. Эти геометрические места, называемые годографами (диаграммами), могут иметь сложную форму. В простейших случаях получаются прямые линии и дуги окружности, которые и называют соответственно линейными и круговыми диаграммами.
При исследовании электрических цепей часто какая-нибудь комплексная величина определяется уравнением вида
где 
, а 
- изменяющаяся комплексная величина с неизменным аргументом n и непостоянным в пределах от 0 до 
модулем n. Геометрически 
представляет собой сумму двух векторов (рис. 9.1), один из которых 
постоянен, а у другого 
сохраняется неизменное направление (n = const), но изменяется длина. Конец вектора 
совпадает с концом вектора 
. Следовательно, геометрическим местом конца вектора 
служит полупрямая, проходящая через конец вектора 
. Таким образом, при указанных условиях уравнение (9.1) является комплексным уравнением полупрямой. Если же n рассматривать не как модуль комплексной величины (который всегда положителен), а как действительное число, изменяющееся от 
до 
, то уравнение (9.1) будет представлять комплексное уравнение прямой, проходящей через конец вектора 
. Часть прямой, соответствующая отрицательным значениям n, показана на рис. 9.1 штриховой линией.
Рис. 9.1
Теперь рассмотрим другой тип уравнения, который очень часто встречается при анализе электрических цепей:
где 
, а 
- комплексная величина с неизменным аргументом n = const и модулем n, изменяющимся в пределах от 0 до 
.
Покажем, что геометрическим местом концов векторов 
является дуга окружности. Для этого разделим числитель и знаменатель выражения (9.2) на 
:
где 
(
при n = 0); 
, и перепишем (9.3) в следующем виде:
При всех значениях n сумма двух изменяющихся векторов 
равна неизменному вектору 
.
Рис. 9.2
На рис. 9.2 векторы показаны для одного частного значения n при условии 
. При всех значениях n от 0 до 
вектор 
повернут относительно вектора 
на угол 
, а угол при вершине M треугольника ОМК равен постоянной величине 
.
Отсюда следует, что конец вектора 
лежит на дуге ОМК окружности, для которой вектор 
является хордой. Ниже будет дан простой способ построения этой окружности, а сейчас покажем, как найти вектор 
для любого значения n.
Отложим от точки О по направлению хорды ОК отрезок OA, равный в некотором (произвольном) масштабе а. Затем через точку А проведем прямую AN' под углом 
к вектору МО и продолжим линию ОМ до пересечения в точке N с линией AN'. Получились два подобных треугольника ОAN и ОМК 
Из подобия следует, что
Таким образом, если отрезок OA соответствует а, то отрезок AN в том же масштабе определяет модуль n изменяющейся комплексной величины 
. Линия AN' называется линией изменяющегося параметра. Откладывая на ней отрезки AN, соответствующие различным значениям n, и соединяя их концы с точкой О, можно для любого значения n определить положение вектора 
. При увеличении n точка M приближается к точке О. В пределе при 
длина вектора 
согласно (9.3) должна стремиться к нулю, следовательно, точка M сольется с точкой О, т. е. секущая ON станет касательной ОТ, и так как точка N уйдет в бесконечность, то прямая ОТ будет параллельна линии изменяющегося параметра AN', поэтому перпендикуляр OD к линии изменяющегося параметра является вместе с тем перпендикуляром к касательной в точке О и, следовательно, совпадает по направлению с диаметром окружности, проведенным через точку О. Отсюда вытекает следующий прием построения круговой диаграммы:
1) откладываем вектор 
- это хорда ОК окружности;
2) от начала вектора 
по его направлению откладываем отрезок OA, равный в произвольном масштабе а;
3) под углом 
к вектору 
проводим линию изменяющегося параметра AN';
4) проводим прямую ОD перпендикулярно линии AN'; прямая ОD проходит через центр окружности;
5) из середины вектора 
восстанавливаем перпендикуляр и продолжаем его до пересечения в точке С с линией ОD. Точка С - центр искомой окружности.
Заметим, что "рабочая часть" окружности, т. е. та дуга, по которой перемещается точка М, расположена относительно хорды ОК с той же стороны, где находится линия изменяющегося параметра.