Явления, происходящие в линейных цепях при периодических, но несинусоидальных ЭДС, напряжениях и токах, проще всего поддаются исследованию, если кривые ЭДС, напряжений и токов разложить в тригонометрические ряды Эйлера - Фурье.

Как известно, всякая периодическая функция , удовлетворяющая условиям Дирихле, т. е. имеющая на всяком конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд:

Первый член ряда называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой, второй член - основной синусоидой или 1-й гармоникой, а все остальные члены вида при k>1 носят название высших гармоник; - основная частота (угловая); Т - период несинусоидальной периодической функции.

Тригонометрический ряд после раскрытия синуса суммы для каждой из гармонических составляющих, или, короче, гармоник, записывается и в иной форме:

Здесь .

Коэффициенты могут быть вычислены при помощи следующих интегралов:

Постоянная составляющая равна среднему значению функции за ее период .

Зная коэффициенты ряда (12.2), легко перейти к форме (12.1), подсчитывая

Вводя условно отрицательные частоты, т. е. переходя к суммированию по k от до , можно ряду (12.2) придать более компактный вид (где, по существу, каждая гармоника, кроме нулевой, входит под знак суммы дважды):

Постоянная составляющая в этом выражении получается при k=0, что соответствует выражению (12.3), так как .

Выражению (12.2а) можно придать несколько иной вид, если воспользоваться формулами Эйлера для тригонометрических функций времени:

и вместо (12.2а) получим

где согласно (12.3)

Учитывая, что а и что сумма двух комплексно-сопряженных величин равна их удвоенной действительной части, выражение (12.26) можно упростить. Оно принимает вид

Комплексная форма ряда Фурье [(12.2в) и (12.3а)] имеет большое значение при переходе от дискретного спектра к непрерывному.

Рис. 12.4

Значительное число непериодических функций времени, с которыми приходится встречаться в электротехнике (рис. 12.4, а), удовлетворяет условию

Функции, удовлетворяющие этому условию, называются симметричными относительно оси абсцисс. Они раскладываются в ряд, который не содержит четных гармоник и постоянной составляющей:

В схемах выпрямления переменного тока часто приходится встречаться с функциями, которые при соответствующем выборе начала координат удовлетворяют условию (рис. 12.4, 6)

Такие функции называются симметричными относительно оси ординат.

В этом случае ряд не содержит синусов:

В схемах умножения частоты встречаются функции, которые при выборе начала координат в точке нуля функции удовлетворяют условию (рис. 12.4, в)

Такие функции называются симметричными относительно начала координат и раскладываются в ряд, не содержащий косинусов и постоянной составляющей:

Примеры разложения в ряд некоторых простейших из наиболее часто встречающихся в электротехнике кривых приведены в приложении 3.

Если начало отсчета времени сдвигается, то соответственно изменяется вид ряда, в котором амплитуды гармоник остаются прежними, но изменяются их начальные фазы. Например, если перейти от функции , выражаемой рядом (12.1), к , т. е. сместить начало отсчета времени на , то получим ряд

где

Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной периодической функции называется ее дискретным частотным спектром.

Спектр можно характеризовать некоторой зависимостью (спектр амплитуд) и (спектр фаз) от частоты .

Пример 12.1. 

Построить спектр для несинусоидальной функции в виде ряда прямоугольных импульсов

Построить спектр для несинусоидальной функции в виде ряда прямоугольных импульсов продолжительностью с высотой , следующих один за другим через интервалы времени (рис. 12.5, а). Напряжения такой формы встречаются в различных схемах телеграфии, телемеханики и автоматики.

Рис. 12.5

Решение. Найдя коэффициенты разложения по формулам (12.3) или выписав их из таблицы (приложение 3), представим рассматриваемую функцию в виде ряда

где .

Дискретный спектр амплитуд этих импульсов представлен на рис. 12.5, б. Там же показан спектр фаз, изображенный в виде непрерывной функции. Эта функция реально существует только в тех точках, где .

Пример 12.2. 

Построить спектр той же функции, что в примере 12.1, при начале отсчета времени, сдвинутом на (рис. 12.6, а).

Рис. 12.6

Решение. Эта функция симметрична относительно оси ординат, и ее разложение в тригонометрический ряд имеет вид:

Спектры амплитуд и фаз этой функции показаны на рис. 12.6, б. Естественно, что спектр амплитуд остался прежним.

Рассматривая каждую гармонику как сумму членов ряда для и переходя от записи (12.2) к (12.2а), можно этому выражению придать следующий вид:

Действительно, при k=0

т. е. получаем постоянную составляющую; при четных значениях k члены ряда обращаются в нуль, а при k нечетных и при суммировании членов для положительных и отрицательных к дают амплитуду, равную .

Спектр амплитуд в этом случае имеет симметричный вид (рис. 12.6, в).

Такое рассмотрение гармонические составляющих как совокупности колебаний положительных и отрицательных часто во многих случаях позволяет получить более простое общее выражение. Отрицательная частота, конечно, не имеет физического смысла, и составляющие ряда при k<0 являются не чем иным, как удобным математическим выражением гармоник, имеющих положительную частоту, соответствующую модулю k.

Пример 12.3. 

Построить спектр последовательности прямоугольных импульсов

Построить спектр последовательности прямоугольных импульсов продолжительностью с периодом повторения Т, причем и может принимать любое значение в интервале .

Решение. Выпишем из таблицы приложения 3 разложение этой функции в тригонометрический ряд:

где

Раскладывая каждую из гармоник на сумму двух синусоид, соответствующих положительным и отрицательным значениям k [см. (12.2а)], придадим выражению иную форму:

где постоянная составляющая получается при раскрытии неопределенности:

Обозначив , получим для следующее выражение:

Рис. 12.7

На рис. 12.7, а-в видно, что вне зависимости от периода повторения импульсов Т спектр имеет (с точностью до множителя a) одну и ту же зависимость амплитуд от частоты (огибающую). Чем больше период повторения импульсов, тем большее число гармонических составляющих укладывается на одном и том же участке огибающей и тем медленнее уменьшаются амплитуды гармонических составляющих с увеличением номера гармоники. Кроме того, чем больше период Т, тем меньше амплитуды гармонических составляющих.

Для исследования непериодических процессов большое значение имеет предельный переход при .

Пример 12.4. 

Найти спектр последовательности очень коротких импульсов

Найти спектр последовательности очень коротких импульсов, длительность которых значительно меньше периода их повторения Т.

Изучение последовательности таких импульсов очень важно в различных задачах электротехники, в частности при рассмотрении импульсных и релейных систем автоматики.

Решение. Частотный спектр такой последовательности импульсов получается из выражения (12.12), приведенного в предыдущем примере, при :

Таким образом, спектр периодической последовательности кратковременных импульсов приближенно может быть выражен бесконечным множеством равных по амплитуде гармоник с частотами, кратными основной частоте импульсов . Амплитуда гармоник в раз меньше, чем высота импульсов. Это соответствует среднему участку спектра, представленного на рис. 12.7, при стремлении периода огибающей, которая изображена на этом рисунке штриховой линией, к бесконечности (при ), если, конечно, по оси абсцисс откладывать не , а просто k или .

Дополнительно по теме