Переменные токи и квазистационарные электромагнитные поля

1. Прямоугольная рамка размером aXb метров вращается вокруг стороны а в однородном магнитном поле В с переменной угловой скоростью . Определить величину индуцированной ЭДС , если в начальный момент рамка перпендикулярна к полю.Решение. Найдем закон движения Рамки (т. е. зависимость ), если в начальный момент угол между перпендикуляром к плоскости рамки и полем равен (рис. 43): Магнитный поток через плоскость рамки запишем в виде По определению ЭДС индукции равна 2. Два параллельных провода, замкнутых на одном конце сопротивлением R, расположены в однородном магнитном поле с индукцией В. Считая, что поле В перпендикулярно плоскости проводов, найдите ток I, который течет через проводящую перекладину между проводами, двигающуюся с постоянной скоростью (рис. 44). Расстояние между проводами равно .Решение. На электроны в перекладине действует сила Лоренца С силой (1) связано электрическое поле которое появляется в системе координат, связанной с перекладиной. Это поле приводит к ЭДС индукции Поэтому через перекладину потечет ток 3. Медный диск радиуса а=10 см вращается в однородном магнитном поле, делая N=100 оборотов в секунду. Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости диска и имеет индукцию . Две щетки, одна на оси диска, другая на окружности (рис. 45), соединяют диск с внешней цепью, в которую включены реостат с сопротивлением R=10 Ом и амперметр, сопротивлением которого можно пренебречь.
Что показывает амперметр?Решение. В системе координат, связанной с диском, возникает электрическое поле которое приводит к ЭДС индукции Ток по закону Ома 4. В середине длинного соленоида на расстоянии b=5 см от его оси расположен электрон. В момент времени t=0 через соленоид начинают пропускать ток, изменяющийся со временем по закону . Найдите мгновенное ускорение электрона, считая поле внутри соленоида однородным. , число витков на единицу длины соленоида витков/м, начальная скорость электрона равна нулю.

Решение. Магнитное поле внутри соленоида равно Переменное магнитное поле приводит к вихревому электрическому полю Мгновенное ускорение

5. Найдите коэффициент самоиндукции L длинного соленоида. Число витков на единицу длины равно n, а длина соленоида .Решение. Магнитное поле внутри соленоида можно найти по теореме Стокса где I — ток в обмотке соленоида. Магнитный поток через все витки, если пренебречь рассеянным полем, равен где S — площадь поперечного сечения соленоида.
С другой стороны, известно следующее выражение для магнитного потока: Используя (1) — (3), окончательно находим 6. Тороидальная катушка из N витков, внутранний радиус которой равен b, в поперечном сечении имеет форму квадрата со стороной а (рис. 46). Найдите индуктивность катушки L.Решение. Магнитное поле внутри катушки можно найти по теореме Стокса где I — ток, протекающий по обмотке катушки и .
Энергия магнитного поля внутри катушки С другой стороны, магнитная энергия катушки равна Сравнивая (2) и (3), находим для самоиндукции катушки 7. На тороидальную катушку намотаны две вплотную прилегающие друг к другу системы обмоток с полными числами витков . Считая радиус одного витка обмотки равным r и радиус тора — R (r<<R), найдите коэффициент взаимной индукции катушек.Решение. Магнитное поле, создаваемое одной катушкой внутри тора, равно

где — ток в обмотке первой катушки. Магнитный поток через все витки второй катушки

где S — площадь поперечного сечения тора.
Так как, с другой стороны, известно, что

то используя (1)—(3), окончательно находим для коэффициента взаимоиндукции 8. Катушка, индуктивность которой L=10 мГн и сопротивление R=2 Ом, подключается к источнику постоянного напряжения U=50 В. Чему равно время релаксации для этой катушки? С какой скоростью нарастает ток в начальный момент? Чему равно установившееся значение тока?

Решение. По условию в момент t=0 включает рубильник Р (рис. 47). По 2-му закону Кирхгофа имеем решая (1), находим где время релаксации Скорость нарастания тока в начальный момент Установившееся значение тока 9. Найдите действующее и среднее значение тока, график изменения которого за период Т показан на рис. 48.Решение. По определению действующее значение среднее значение

10. Катушка с индуктивностью L=50 мГн и активным сопротивлением r=10 Ом подключена к источнику синусоидального напряжения, действующее значение которого , а частота v=50 Гц. Определить полное сопротивление катушки, ток и сдвиг фаз между напряжением и током.Решение. По определению: 11. В схеме, показанной на рис. 49, рассчитать токи через сопротивления . Емкость С=3,18 мкФ, ЭДС генератора , а частота v=50 кГц. Как сдвинут по фазе ток через сопротивление относительно тока через .Решение. Составляем уравнения для контурных токов, считая начальную фазу ЭДС равной нулю: или Решая систему (1'), находим: где Физический ток через сопротивление равен контур, ному току , т. е. Физический ток через сопротивление равен контурному току , т. е. Физический ток через сопротивление равен разности контурных токов , т. е. Ток через сопротивление сдвинут по фазе относительно тока через на угол 12. Найдите, пользуясь векторным методом, напряжение на конденсаторе в схеме на рис. 50, если параметры схемы таковы, что напряжение отстает по фазе от напряжения генератора на угол .Решение. Векторная диаграмма имеет вид, изображенный на рис. 51. Используя закон Ома и теорему Пифагора, получаем уравнение откуда
13. Определить емкость С, которую надо включать последовательно с катушкой, имеющей активное сопротивление г=10 Ом и индуктивность 3,18 мГн для -того, чтобы цепь была настроена в резонанс при частоте . Найти напряжение на конденсаторе при резонансе, добротность и затухание контура и полосу пропускания, если к контуру приложено напряжение U=100 В.Решение. По определению резонансная частота

откуда Добротность контура Напряжение на конденсаторе при резонансе Затухание контура

Полоса пропускания контура

14. Найти резонансную частоту и полное сопротивление параллельного контура, изображенного на рис. 52, при резонансе. Параметры контура равны: . Рассчитать добротность контура и токи, проходящие через каждую из ветвей контура, и в неразветвленной части при резонансе, если к контуру приложено напряжение U=200 В. Решение. Рассчитаем прежде всего добротность контура Так как добротность велика, то резонансную можно найти по приближенной формуле Сопротивление контура при резонансе Ток в неразветвленной части цепи при резонансе Ток в левой ветви контура при резонансе Ток в правой ветви контура при резонансе

15. Когда катушка со стальным сердечником (дросселем) включена на напряжение , по ней проходит ток , отстающий по фазе от напряжения на угол , причем . Эта же катушка без стального сердечника при том же напряжении потребляет ток , отстающий от напряжения на угол , причем . Определить потери мощности в стали и проводах катушки.Решение. В катушке без сердечника имеются потери мощности только в проводах катушки: Учитывая, что , находим активное сопротивление проводов катушки r: Катушка со стальным сердечником потребляет мощность причем потери в проводах равны а потери в стальном сердечнике 16. Опыты с однофазным повышающим трансформатором дали следующие результаты напряжения, тока и мощности в первичной обмотке:
а) в режиме холостого хода (хх) б) в режиме короткого замыкания (кз) Предполагая, что активное и реактивное сопротивления рассеяния первичной обмотки равны соответственным приведенным сопротивлениям вторичной обмотки, т. е. определить их величины, если коэффициент трансформации . При холостом ходе можно пренебречь падением напряжения в первичной обмотке, а при коротком замыкание — намагничивающей составляющей первичного тока.Решение. Эквивалентная схема трансформатора изображена на рис. 53.

Из опыта холостого хода, пренебрегая ряжения в первичной обмотке, имеем В случае режима короткого замыкания, если пренебречь намагничивающей составляющей первичного тока, эквивалентная схема трансформатора имеет вид, изображенный на рис. 54. Поэтому для опыта короткого замыкания Воспользовавшись равенствами окончательно получим

Смотри полное содержание по представленным решенным задачам.