Расчет переходных процессов в цепях первого порядка

Расчет переходных процессов в цепях первого порядка

1. При замыкании контакта и разомкнутом контакте к источнику постоянного напряжения подключается индуктивная катушка , последовательно с которой соединен реостат сопротивлением (рис. 8.4, а). Через после замыкания замыкается , который остается в таком состоянии продолжительное время.
Построить кривую изменения тока в катушке с момента замыкания контакта до момента практически полного затухания тока в катушке (например, до 1% от максимального значения тока).

Решение:
При замыкании и разомкнутом переходный ток в катушке К моменту включения ток в катушке

Второй закон Кирхгофа для контура катушки, замкнутой контактом (при ), будет Решение этого уравнения дает Постоянную интегрирования А найдем из начального условия, согласно которому для момента ток . Ток, по формуле (8.3): На рис. 8.4, б построены кривые изменения тока.

2. Для замедления скорости нарастания тока в электромагните его шунтируют резистивным сопротивлением (рис. 8.8, а). Найти ток i в электромагните и сравнить скорость его нарастания со скоростью нарастания тока электромагнита при отсутствии шунта. Для упрощения положить .Решение:
Ток в катушке ищем в виде суммы установившегося и свободного токов Установившийся ток — это постоянный ток, который рассчитываем по методу расчета цепей постоянного тока:


Свободный ток где р - корень следующего характеристического уравнения отсюда находим Постоянная времени цепи Подставляем (8.2) и (8.3) в (8.1): Для определения постоянной А используем начальное условие, согласно которому при t=0 ток : отсюда Подставляя это выражение в (8.6), получим искомый ток В частном случае при ток
где
Бхли же шунт снять, то, полагая в (8.7) , получим
где
Сравнивая выражения (8.9) и (8.11), устанавливаем, что , т. е. постоянная времени при наличии шунта больше, чем без него.
Вычислим начальную скорость нарастания тока. При наличии шунта из формулы (8.8) имеем а без шунта из формулы (8.10) получим Сравнивая выражения (8.12) и (8.13), устанавливаем, что при наличии шунта скорость нарастания тока меньше, чем без него. На рис. 8.8, б по уравнениям (8.8) и (8.10) построены кривые токов.

3. В цепи (рис. 8.9, а) дано: . Найти токи после внезапного замыкания контакта (до коммутации в цепи был установившийся режим). Построить кривые изменения этих величин.Решение:
Расчет токов в докоммутационном режиме (контакт разомкнут):
Расчет установившегося режима после коммутации (контакт замкнут):
Расчет переходного режима. Решение целесообразно начать с отыскания тока в ветви с индуктивным элементом, так как при этом наиболее просто воспользоваться начальным условием. Ток ищем в виде .
Свободная составляющая этого тока , где - корень характеристического уравнения, которое наиболее просто составить относительно ветви с индуктивностью:

Отсюда
Подставляя в выражение найденные значения установившегося и свободного токов, будем иметь
Постоянную А определяем из начального условия или 10+А=15, отсюда А = 5.
Итак, Для отыскания тока вначале найдем напряжение на параллельном участке:

Наконец, вычисляем искомые токи:

Отметим, что в ветвях с в момент коммутации имеет место скачкообразное изменение токов; это возможно, так как в этих ветвях нет накопителей энергии и поэтому оно не связано с внезапным изменением в них запаса электромагнитной энергии и становится физически осуществимым.
На рис. 8.9, б построены кривые токов в докоммутационном и послекоммутационном режимах.4. Найти ток в индуктивной катушке (рис. 8.10, а) после включения источника постоянного тока J (т. е. при размыкании контакта К).

Решение:
Искомый ток ищем в виде суммы установившегося и свободного токов Из схемы очевидно, что при установившемся режиме ток Для определения вида свободного тока составляем выражение характеристического сопротивления относительно ветви с индуктивностью (рис. 8.10, б, при этом согласно п. 3 основных положений и соотношений ветвь с источником тока должна быть разомкнута), которое приравниваем нулю: , отсюда .
Таким образом, свободный ток ищем в виде Подставляем (8.2) и (8.3) в (8.1), получим Постоянную интегрирования А находим из начального условия Отсюда находим A=-J, подставляем в (8.4) и окончательно получим
Обращаем внимание на то, что в решение не вошло, так как оно соединено последовательно с источником тока, сопротивление которого бесконечно велико.

5. Цепь (рис. 8.18, а), параметры которой при разомкнутом контакте К находится в установившемся режиме под воздействием постоянной ЭДС Е=15 В.
После включения требуется определить: 1) начальные значения переходных токов и напряжения на конденсаторе, а также начальные значения их установившихся и свободных составляющих и производную свободной составляющей напряжения на конденсаторе в момент начала переходного процесса; 2) законы изменения во времени всех токов и напряжения на конденсаторе.Решение:
Расчет режима до коммутации (контакт разомкнут). Токи в ветвях и напряжение на конденсаторе равны:

Расчет установившегося режима после коммутации (контакт замкнут). Напряжение на конденсаторе и токи:

Определение законов изменения во времени искомых величин.
Расчет свободного процесса. Составим для послекоммутационной схемы характеристическое уравнение сопротивления и приравняем его нулю. Наиболее просто составить его относительно ветви с конденсатором:

Корень этого уравнения Так как характеристическое сопротивление имеет только один корень, свободная составляющая каждого искомого значения имеет вид .
Расчет переходного процесса:

Постоянную А определяем из начального условия: или 12,5=10+А, откуда -А = 2,5.
Таким образом, . Находим токи
Расчеты занесены в табл. 1 (даны округленные значения). Графики найденных значений изображены на рис. 8.18, б.

Таблица 1

0

1

2

3

4

5

6

12,5

12,22

11,97

11,74

11,54

11,37

11,22

1,1

1,089

1,079

1,070

1,062

1,055

1,049

-0,3

-0,266

-0,236

-0,209

-0,186

-0,165

-0,146

 

6. В схеме рис. 8.22 до замыкания контакта К был установившийся режим. Дано: . Найти напряжение на конденсаторе и ток в неразветвленной части цепи после замыкания контакта.Решение:
Вначале вычислим сопротивление конденсатора, необходимое для дальнейших расчетов:
Расчет режима до коммутации. Сначала найдем комплексные амплитуды тока и напряжения на конденсаторе

Соответствующие мгновенные значения:

Расчет комплексных амплитуд тока и напряжения на конденсаторе в установившемся режиме после коммутации Соответствующие мгновенные значения:

Расчет свободного процесса. Для послекоммутациониой схемы наиболее просто составить характеристическое сопротивление относительно ветви с емкостью. Для нахождения корня приравниваем сопротивление нулю: , отсюда Свободное напряжение на конденсаторе ищем в виде .
Расчет переходного процесса после коммутации. Напряжение на конденсаторе находим в виде . Постоянную интегрирования А находим из начального условия, согласно второму закону коммутации: , или , отсюда А=0,5.
Итак, напряжение на конденсаторе
Находим ток в неразветвленной части цепи

Смотри полное содержание по представленным решенным задачам.