Аналитический метод разложения периодических кривых в ряд Фурье

Аналитический метод разложения периодических кривых в ряд Фурье

1. Разложить в тригонометрический ряд функцию, выражаемую кривой периодических импульсов напряжения постоянной амплитуды длительностью (рис. 7.2, а). Дано: .
Полученную функцию представить также в виде комплексного ряда Фурье. Построить амплитудно-частотный спектр в зависимости от: а) номера гармоники n и б) угловой частоты w. Такие же спектры построить, если Т=2 мс, остальные данные те же.

Решение:
Уравнение заданной кривой: в интервале от t=0 до , в интервале от до .
Разбивая область интегрирования на два участка, учитывая, что , находим коэффициенты ряда и начальные фазы гармоник: Вычисляем коэффициенты ряда и начальные фазы гармоник. При этом имеем в виду, что Для удобства расчеты сведены в таблицу 1.

Таблица 1

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0

0,2p

0,4p

0,6p

0,8p

p

1,2p

1,4p

1,6p

1,8p

2p

0

0,588

0,951

0,951

0,588

0

-0,588

-0,951

-0,951

-0,588

0

2

3,74

3,03

2,02

0,935

0

-0,624

-0,866

-0,757

-0,416

0

-

0,3p

0,1p

-0,1p

-0,3p

-

-0,7p

-0,9p

-1,1p

-1,3p

-

Искомый ряд или, учитывая, что , окончательно получим Для определения ряда Фурье в комплексной форме находим комплексные амплитуды Таким образом, комплексная форма ряда Фурье На основе полученных результатов на рис. 7.2, б изображен амплитудно-частотный спектр напряжения в зависимости от номера гармоники (расчеты для n от 1 до 10 даны в таблице 1; аналогичные расчеты для n=11...30 рекомендуется проделать самостоятельно).
По данным таблицы 1 на рис. 7.2, в построен амплитудно-частотный спектр в зависимости от . Для построения графика выбраны масштабы: по оси абсцисс одному делению соответствует ; по оси ординат в одном делении (при построении последнего графика спектральные амплитуды приведены к нормированному масштабу путем деления на ).
На рис. 7.2, г построен амплитудно-частотный спектр в зависимости от n при Т=2 мс, а на рис. 7.2, д спектр изображен в нормированном масштабе в зависимости от (расчеты рекомендуется проделать самостоятельно).
Из рис. 7.2, в и д видно, что спектральные характеристики импульсов одной и той же длительности зависят от периода Т следования импульсов, и чем он больше, тем гуще располагаются спектральные линии, а амплитуды соседних гармоник близки по значению.
На рис. 7.2, б-д отложены значения , соответствующие положительным частотам. Полный спектр можно получить, если построить такой же график симметрично относительно вертикальной оси (т. е. отложить соответствующие отрезки для отрицательных частот).

Смотри полное содержание по представленным решенным задачам.